ACTIVIDAD UNIDAD 2 IA

UNIDAD 2 DE INTELIGENCIA ARTIFICIAL

LAS SIGUIENTES ACTIVIDADES LAS REALIZARAS POR EQUIPO Y EL RESULTADO DE ESTAS SE SUBIRÁ AL SITIO DEL GRUPO.

Para la realización de estas actividades.

Se sugiere tener el libro de inteligencia artificial un enfoque moderno de Russell inorving.

1.- Investigar el tema leyes de la lógica  de predicado o proposiciones.

La lógica de predicados orden constituye una extensión de la lógica.

Esta extensión explicita y sistematiza el proceso inferencial que se efectúa cuando se trabaja con funciones proposicionales y cuantificadores, o de manera más precisa, con un lenguaje de primer orden.

La lógica de predicados se emplea como una técnica de especificación formal dentro de la metodología de la programación; esto es: se traducen las especificaciones de los programas a un lenguaje de primer orden con objeto de que las reglas formales del mismo pongan de manifiesto posibles fallos del soporte lógico, intentando así aumentar la fiabilidad del diseño del programa.

Estos métodos formales son una técnica más de la ingeniería de la programación.

2.- Ejemplificar la validación de un conjunto de sentencias mediante tablas de verdad.

TABLAS DE VERDAD

Hasta ahora nos hemos referido a las letras y esquemas sentenciales sin tener en cuenta si eran verdaderas o falsas. Un principio que establecer es este:

P1. Todo enunciado es verdadero o falso

Este principio significa que a todo enunciado se le puede asignar uno de los siguientes predicados: verdadero o falso, y lo simbolizaremos con las letras V o F, respectivamente.

Otro principio es:

P2. Los valores de verdad de cualquier fórmula molecular (esquema sentencial) están determinados por los valores de verdad de las fórmulas componentes

Con la ayuda de estos principios se pueden formar las llamadas TABLAS DE VERDAD, las cuales se usan para determinar de un modo sistemático la verdad o falsedad de las fórmulas.

Comenzaremos con las tablas de verdad correspondientes a las conectivas lógicas presentadas anteriormente.

1.    La tabla de verdad para una sola letra sentencial es:

Lo cual indica que dada una letra sentencial hay para ella 2 posibilidades, una que sea verdadera y otra que sea falsa.

2. La tabla de verdad para 2 letras senténciales es:

Lo cual indica que dadas 2 letras sentenciales hay para ellas 22 posibles combinaciones y en general para n letras, hay 2n combinaciones.

3. La tabla de verdad para p v q es:

Lo cual indica que la conjunción de p y q es verdadera si y sólo si p y q son verdaderas, de otra manera p v q es falsa.

4. La tabla de verdad para p w q es:

Lo cual indica que la disyunción de p o q será verdadera si y sólo si p o q o ambas son verdaderas. De otra manera p w q es falsa.

5. La tabla de verdad para la disyunción exclusiva es:

Lo cual indica que la disyunción de p r q será verdadera si y sólo si p o q son verdaderas, pero no ambas.

6. La tabla de verdad de p 6 q es

Sólo en este caso, a la letra sentencial p se le denomina antecedente y a la letra sentencial q se le denomina consecuente.

Por tanto, la tabla de verdad para p 6 q establece que solamente cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, la fórmula será falsa y en todos los demás casos es verdadera.

7. La tabla de verdad para p º q o p ø q es:

Lo cual indica que la bicondicional p º q será verdadera si y sólo si ambas componentes tienen el mismo valor de verdad.

Obsérvese que las tablas de verdad 5 y 7 se complementan entre sí; por tal razón se utiliza para la bicondicional el símbolo de la relación de equivalencia º y para la disyunción exclusiva ¹, esto es porque una es el complemento de la otra.

8. La tabla de verdad para no p (p') es:

Lo cual indica que cuando una fórmula es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

Las tablas de verdad, como se mencionó anteriormente, se construyen para comprobar metódicamente el valor de verdad de las fórmulas o para verificar la relación de equivalencia (igualdad) de las fórmulas.

A continuación se presentan algunos ejemplos:

1. Demostrar que p 6 q = p' w q

SOLUCIÓN

2. Demostrar que (p º q) = (p 6 q) v (q 6 p)

SOLUCIÓN

3. Dada la siguiente fórmula, determine sus valores de verdad:

[(p v q) 6 p]'

Solución

3.- INVESTIGAR EL TEMA SISTEMA INFERENCIAL DEL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.

                                                                                          

El cálculo de proposiciones se presenta como el Método de Deducción Natural. El cual consiste en un grupo de reglas que nos permiten deducir unas conclusiones a partir de unas hipótesis. Esto es lo que llamamos un sistema inferencial.

En un sistema inferencial llamamos inferencias a los procesos mediante los cuales obtenemos una  conclusión a partir de unas premisas de forma que el razonamiento sea válido.

Una inferencia que siga las reglas será una inferencia correcta, mientras que si no las sigue será una inferencia incorrecta.

En varios tratados lógicos podemos encontrar que a la conclusión de se le da el nombre de consecuencia lógica de las premisas

Tema de 2.3 razonamiento monótono

2.4  Lógica de predicados.

Sintaxis, semántica, validez e inferencia.

Un lenguaje para representación del conocimiento consta de dos aspectos:

La sintaxis del lenguaje que explica, las posibles configuraciones mediante las cuales se forman las oraciones.

La semántica determina los hechos del mundo a los que hacen alusión las oraciones. Sin embargo, la oración no sería más que un ordenamiento de palabras. Mediante la semántica cada oración expresa algo relacionado con el mundo.

En la lógica de predicados, los objetos y las relaciones entre los objetos, serán los elementos básicos, es decir se puede distinguir:

1.- Qué se afirma (relación o predicado).

2.- De quién se afirma (objeto).

Los símbolos (alfabeto) que introduce la lógica del predicado son:

Constantes lógicas (V para verdaderos y F para falsos).

Semántica.

 La semántica se define especificando la interpretación de los símbolos y especificando el significado de los conectores lógicos.

La tabla de verdad de una sentencia:

Es una tabla en la que se representan todas las posibles interpretaciones de las variables que constituyen la sentencia,  y el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación.

P	Q	┐P	P^Q	PVQ	P → Q	P↔Q
F	F	V	F	F	V	V
F	V	V	F	V	V	F
V	F	F	F	V	F	F
V	V	F	V	V	V	V

VALIDES  E INFERENCIAS 

Un  problema  importantes  para  cualquier problema lógicos  es  el problemas  de  encontrar  un  procedimiento  efectivos para  verificar  la  valide s   tautologías  de una   sentencias  bien  formadas .

La  lógicas  de  proposiciones es  un sistemas  decidible  de  hecho de  se conocen  varias  procediendo de  decisión  entra los que  destacas

1: validación  mediantes  tablas  de verdad

2: albores  semánticos

3: mediante refutación

Los factores más importantes son:

Conjuntor, «y» en el lenguaje natural.

Disyuntor, «o».

Condicional, «si... entonces».

Bicondicional, «si y sólo si... entonces».

     Disyunción exclusiva, «o... o», una proposición excluye a la otra.

1. La conjunción: «Juan juega y Pedro estudia».
2. La disyunción: «Llueve o nieva».
3. El condicional: «Si estudias entonces aprendes».
4. El bicondicional: «Si y sólo si tienes dieciocho años puedes votar».
5. La disyunción exclusiva: «O te quedas o te vas».
6. La negación: «Manolo no juega limpio».

A veces el negador puede afectar a más de una variable o a la conjunción, o disyunción de ambas:

«Es falso que estudies o trabajes».

Combinar oraciones con los conectadores lógicos siguientes forma una oración

La tabla de verdad de una expresión con n variables proposicionales tiene 2n filas

Semántica

Negación

•  Consiste en cambiar el valor de verdad de una variable proposicional.

p
V	F
F	V

Disyunción:

• La sentencia será verdadera cuando una o ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p	q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Conjunción:

•  La sentencia será verdadera sólo cuando ambas variables proposicionales sean verdaderas.

p	q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

• Condicional

La sentencia será verdadera cuando se cumpla si es válido p entonces lo es q.

p	q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

• Bicondicional

La sentencia será verdadera cuando ambas variables proposicionales sean iguales.

p	q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

• Disyunción exclusiva

La sentencia será verdadera sólo cuando sólo una de las dos variables proposicionales sea verdadera, pero no las dos.

P	q
V	V	F
V	F	V
F	V	V
F	F	F

Validez e inferencia

Un problema importante para cualquier sistema lógico es el problema de encontrar un procedimiento efectivo para verificar la validez o tautología de una sentencia bien formada.

 La lógica de proposiciones es un sistema decidido de echo se conocen varios procedimientos de decisión, entre lo que destacan.

1.-Vlaidación mediante tablas de verdad.

2.-Árboles semánticos.

3.-Mediante refutación.

Actividad 

2.5 Demostración y sus métodos.

Las siguientes actividades las realizaras por equipo y el resultado de esta la subirás al sitio del grupo.

1.- Investigar los esquemas operativos generales de cada uno de los métodos de demostración.

·         Método directo o de la hipótesis auxiliar

·         Método contra reciproco.

·         Método de demostración por contradicción o reducción al absurdo.

·         Método de casos o silogismos disyuntivos.

2.- Realizar un ejemplo de cada uno de los métodos de demostración.

      MÉTODO  DIRECTO O DE LA HIPÓTESIS AUXILIAR 

Sé si tiene un conjunto de premisas en una teoría, partiendo del supuesto que una preposición P es verdadera  y haciendo uso de las premisas disponibles, es decir demostrar que una preposición Q es verdadera, dando como conclusión que  p→q es verdadero.

      MÉTODO  CONTRA RECÍPROCO

En esta parte del  teorema con su mismo nombre, el cual dice que la proposición de la forma (P→Q) → (┐Q →┐P), da lugar a una variante del método directo.

Para su desarrollo se parte  del  supuesto que se requiere  demostrar la preposición  P→Q, la cual  es un teorema y que  no es posible obtener la conclusión deseada por medio del  método directo. Debido a  esto, demostrar, con el método directo, la contrarreciproca de (P→Q) → (┐Q →┐P), al lograr este  objetivo, se establece la validez de si se consigue este objetivo, entonces queda establecida la validez de P→Q, haciendo usos de la sustitución por equivalencia.

MÉTODO DE  DEMOSTRACIÓN  POR CONTRADICCIÓN O REDUCCIÓN AL  ABSURDO.

Para entender este método, es necesario aclarar los conceptos de, contradicción: Es aquella preposición que corresponde a la conjunción entre una proposición  y su negación.

Este método se fundamenta en la condición de no contradicción para una teoría, y supone,  de manera explícita, la negación de la proposición a demostrar. De manera más  simple, se dice que la teoría con este supuesto es inconsistente y, en consecuencia, tal hipótesis es falsa, o lo que es equivalente: que su negación es verdadera, quedando validada la proposición inicial. Veamos el siguiente ejemplo para explicar mejor lo anterior.

      MÉTODO DE CASOS O SILOGISMOS DISYUNTIVOS.

La última de estas estructuras lógicas primarias que utilizamos en nuestra vida -y que continuaremos utilizando por el resto de ella- es la llamada Silogismo Disyuntivo. Como argumentaremos más adelante, esta estructura lógica es muy particular pues su componente esencial tiene una naturaleza diferente a la que ya hemos analizado hasta este momento.

Su estructura es:

p o q

-p
q

Dicho en otras palabras:

Si es cierto/ocurre que p o q
y no es cierto/no ocurre p
entonces es cierto/ocurre q

Quizás, una forma todavía más clara de expresarlo es la siguiente:

Si necesariamente es cierto/ocurre o p o  q
y no es cierto/no ocurre p
entonces necesariamente es cierto/ocurre q

Un ejemplo simple:

Un día alguien nos dice algo como:

En esta vida solamente hay dos posibilidades: o eres el mejor en lo que haces o eres un fracasado.

Este enunciado también puede ser expresado como:

p o q

En donde:

p = ser el mejor
q = ser un fracasado

(En el caso específico de las proposiciones disyuntivas, el orden de los elementos no altera el resultado; es decir, “ser el mejor” bien podría ser q y “ser un fracasado” podría ser p y el significado de la proposición seguirá siendo el mismo).

Así:

Ser el mejor o ser un fracasado

·         Método de resolución de Robinson

• Método para decidir si una proposición es válida o no.
• Introducido por Alan Robinson en 1965
• Es simple de implementar
• Es bastante popular en el ámbito de demostración automática de teoremas.
• Se extiende a lógica de primer orden y otras lógicas no funcionales.
• Tiene una única regla de inferencia: la regla de resolución.

La idea del método es mostrar la validez de una proposición estableciendo que la negación de la proposición es insatisfactible por ello se dice que es un método de refutación.

El método de resolución se basa en el hecho de que la siguiente proposición es una tautología.

(A _ P) ^ (B _ ¬P) () (A _ P) ^ (B _ ¬P) ^ (A _ B)

Definición

Dado un literal L, el opuesto de L (escrito L) se define como:

¬P si L = P

P si L = ¬P

               

Razonamiento probabilístico.

Un agente lógico se puede considerar como una entidad que posee conocimiento de su mundo, y que también es capaz de razonar sobre las posibles acciones que puede emprender para el logro de sus objetivos, además que  tiene la posibilidad de aceptar nuevas tareas.

Una de las limitaciones de la lógica de primer orden es que los agentes casi nunca tienen acceso a toda la verdad acerca de su ambiente.

Incertidumbre.
(Teoría de la probabilidad).

Ejemplo

—  Si nos interesara elaborar un sistema para diagnósticos odontológicos recurriendo a la lógica pondríamos reglas como:

El problema es que esta regla está equivocada.

No todos los pacientes que tienen dolor de dientes, también tienen caries; algunos quizá tengan algún padecimiento de las encías, o muelas del juicio afectadas. Esto provoca que tengamos una lista casi ilimitada de posibles causas.

Teoría de la probabilidad.

—  En el caso anterior la relación entre dolor de dientes y caries no implica una consecuencia lógica en ambos sentidos. En estos casos lo que el agente puede ofrecer es solo un grado de creencia en las oraciones correspondientes.

—  La herramienta para manejar los grados de creencia es la teoría de la probabilidad, mediante la que se le asigna a las oraciones un grado numérico de creencia entre 0 y 1.

—  La probabilidad 0 asignada a una determinada oración corresponde a la inequívoca creencia de que la oración es falsa, en tanto que una probabilidad de 1 corresponde a la creencia de que la oración es verdadera.

Las probabilidades situadas entre 0 y 1 correspondes a grados intermedios de creencia en la verdad de la oración.

•         La probabilidad que un agente asigna a una proposición dependerá de las percepciones que éste haya recibido hasta ese momento.

•         Por lo tanto en todas las afirmaciones probabilísticas deberá indicarse la evidencia en la que se basa la probabilidad que se está calculando.

•         Conforme el agente vaya recibiendo nuevas percepciones los cálculos de probabilidad se van actualizando, de manera que reflejen nuevas evidencias.

Probabilidad y las decisiones racionales

La Teoría general de  decisiones racionales conocida también como teoría de decisiones se puede expresar con la siguiente fórmula:

Teoría de decisiones = Teoría de la probabilidad + Teoría de la utilidad

Un agente será racional si y solo si elige una acción que le produzca la mayor de las utilidades esperadas, tomando en cuenta todos los resultados posibles de la acción.

Probabilidad a priori o incondicional.

—  La notación P(A) indica en la probabilidad a priori o incondicional que la proposición A es verdadera. Por ejemplo, si Caries representa la proposición de que un determinado paciente tiene una caries entonces:

—  Significa que, de no existir más información, el agente asignará la probabilidad de 0.1 (10% de posibilidad) al evento de que el paciente tenga una caries.

—  En las proposiciones puede también haber desigualdades que involucren lo conocido como variables aleatorias. Por ejemplo si nuestro objeto de atención es la variable aleatoria EstadoDelTiempo, tendríamos que:

—  Además podemos utilizar conectores lógicos para construir oraciones más complejas y asignarles probabilidades por ejemplo:

           

            Dice que hay 6% de posibilidades de que un paciente tenga caries y no esté asegurado.

Probabilidad condicional

—  Una vez que el agente cuenta con evidencias respecto a las proposiciones que constituyen el dominio, las probabilidades a priori pierden vigencia.

—  En vez de éstas, se utilizan las probabilidades condicionales o posteriores, representadas como P(A|B) y que se interpreta como “la probabilidad de A, considerando que todo lo que sabemos es B”. Por ejemplo:

—  Indica que si se descubre que un paciente padece de dolor dental, y todavía no se dispone de mayor información, la probabilidad de que el paciente tenga una caries es de 0.8 (80% de posibilidad).

—  Es importante tener presente que            sólo puede emplearse cuando todo lo que se sabe es B. En cuanto sabemos C, debemos calcular                   en  lugar de .

—  La probabilidad condicional se obtiene a través de la siguiente ecuación:

 

—  Esta ecuación también puede escribirse de la siguiente manera:

 

—  Esta ecuación expresa que: “Para que A y B sean ciertas, es necesario que B sea cierta, y luego que A sea cierta considerando B”.

—  También se puede expresar como:

 

TEOREMA DE BAYES.

Sea A₁, A₂,...,A_n un sistema completo de sucesos mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir dos de ellos a la vez), tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero, y sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/A_i). Entonces la probabilidad P(A_i/B) viene dada por la expresión:

Demostración del teorema:

El cuadrado corresponde a todas las situaciones posibles, que en este caso pueden dividirse en tres: A1, A2, A3. El suceso B se puede producir en cualquiera de las tres situaciones.

Recordando las formulas de la probabilidad condicional tenemos que:

Si reescribimos la ecuación anterior para A₁:

Para cualquiera de las otras situaciones (A₂, A₃) la fórmula es similar.

Ejemplo

—  El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin de semana:

◦      a) Que llueva: probabilidad del 50%.

◦      b) Que nieve: probabilidad del 30%

◦      c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.

—  Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que ocurra un accidente es la siguiente:

◦      a) Si llueve: probabilidad de accidente del 20%.

◦      b) Si nieva: probabilidad de accidente del 10%

◦      c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.

—  Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no estábamos en la ciudad no sabemos qué tiempo hizo (si llovió, nevó o hubo niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:

—  Vamos a aplicar la fórmula: 

a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:

La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del accidente (probabilidad a posteriori) es del 71.4%.

b) Probabilidad de que estuviera nevando: 

 

—  La probabilidad de que estuviera nevando es del 21.4%.

QUE ES UNA TAUTOLOGÍA:Se entiende por proposición tautológica, o tautología, aquella proposición que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su valor siempre es V.